Разница между степенным рядом и рядом Тейлора

Видео: Разница между степенным рядом и рядом Тейлора

Видео: 10. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена 2024, Июль

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-17 13:48

Серия Power против серии Taylor

В математике реальная последовательность - это упорядоченный список действительных чисел. Формально это функция от множества натуральных чисел к множеству действительных чисел. Если a_n является n^th членом последовательности, мы обозначаем последовательность символом или символом ₁, a ₂, …, a_n, …. Например, рассмотрим последовательность 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Его можно обозначить как {1/n}.}

Серию можно определить с помощью последовательностей. Ряд – это сумма членов последовательности. Следовательно, для каждой последовательности существует соответствующая последовательность и наоборот. Если {a_{n} – рассматриваемая последовательность, то ряд, образованный этой последовательностью, можно представить в виде:}

Таким образом, в приведенном выше примере связанная серия 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Как следует из названия, степенной ряд представляет собой особый тип ряда, который широко используется в численном анализе и связанном с ним математическом моделировании. Ряд Тейлора - это специальный степенной ряд, который обеспечивает альтернативный и простой в использовании способ представления хорошо известных функций.

Что такое серия Power?

Степенной ряд – это ряд вида

который сходится (возможно) для некоторого интервала с центром в c. Коэффициенты a_{nмогут быть действительными или комплексными числами и не зависят от x; то есть фиктивная переменная.}

Например, установив a_n=1 для каждого n и c=0, степенной ряд 1+x+x² +…..+ x^{+… получается. Легко заметить, что при x ε (-1, 1) этот степенной ряд сходится к 1/(1-x).}

Степенной ряд сходится, когда x=c. Другие значения x, для которых степенной ряд сходится, всегда будут принимать форму открытого интервала с центром в точке c. То есть, будет значение 0 ≤ R ≤ ∞ такое, что для каждого x, удовлетворяющего |x-c|≤ R, степенной ряд сходится, а для каждого x, удовлетворяющего |x-c|> R, степенной ряд расходится. Это значение R называется радиусом сходимости степенного ряда (R может принимать любое действительное значение или положительную бесконечность).

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать и делить по следующим правилам. Рассмотрим два степенных ряда:

Затем,

т.е. одинаковые термины складываются или вычитаются вместе. Кроме того, можно умножать и делить два степенных ряда, используя тождество

Что такое сериал Тейлора?

Ряд Тейлора определяется для функции f (x), бесконечно дифференцируемой на отрезке. Предположим, что f (x) дифференцируема на отрезке с центром в точке c. Тогда степенной ряд, который задается как

называется разложением в ряд Тейлора функции f (x) относительно c. (Здесь f⁽ⁿ⁾ (c) обозначает n^{-ю -ю производную в точке x=c). В численном анализе конечное число членов этого бесконечного расширения используется для вычисления значений в точках, где ряд сходится к исходной функции.}

Функция f (x) называется аналитической на интервале (a, b), если для каждого x ε (a, b) ряд Тейлора функции f (x) сходится к функции f (Икс). Например, 1/(1-x) является аналитическим на (-1, 1), поскольку его разложение Тейлора 1+x+x²+….+ x ^{+… сходится к функции на этом интервале, а e}x ^{везде аналитична, поскольку ряд Тейлора функции e}x ^{сходится к e} x ^{для каждого действительного числа x.}