Гипербола против Эллипса
Когда конус срезан под разными углами, края конуса обозначают разные кривые. Эти кривые часто называют коническими сечениями. Точнее, коническим сечением называется кривая, полученная пересечением прямой круговой конической поверхности плоской поверхностью. При разных углах пересечения даны разные конические сечения.
И гипербола, и эллипс являются коническими сечениями, и их различия легко сравнивать в этом контексте.
Подробнее об Эллипсе
Когда пересечение конической поверхности и плоской поверхности образует замкнутую кривую, она называется эллипсом. Он имеет эксцентриситет от нуля до единицы (0<e<1). Его также можно определить как геометрическое место множества точек на плоскости, таких, что сумма расстояний до точки от двух фиксированных точек остается постоянной. Эти две фиксированные точки известны как «фокусы». (Помните: на начальных уроках математики эллипсы рисуются с помощью веревки, привязанной к двум неподвижным булавкам, или веревочной петли и двух булавок.)
Отрезок линии, проходящий через фокусы, называется большой осью, а ось, перпендикулярная большой оси и проходящая через центр эллипса, называется малой осью. Диаметры вдоль каждой оси известны как поперечный диаметр и сопряженный диаметр соответственно. Половина большой оси известна как большая полуось, а половина малой оси известна как малая полуось.
Каждая точка F1 и F2 известна как фокусы эллипса и длины F1 + PF2 =2a, где P - произвольная точка эллипса. Эксцентриситет e определяется как отношение расстояния от фокуса до произвольной точки (PF 2) к перпендикулярному расстоянию до произвольной точки от направляющей (PD). Оно также равно расстоянию между двумя фокусами и большой полуосью: e=PF/PD=f/a
Общее уравнение эллипса, когда большая полуось и малая полуось совпадают с декартовыми осями, задается следующим образом.
x2/a2 + y2/b2=1
Геометрия эллипса имеет множество приложений, особенно в физике. Орбиты планет в Солнечной системе имеют эллиптическую форму с Солнцем в качестве одного из фокусов. Рефлекторы для антенн и акустических устройств имеют эллиптическую форму, чтобы использовать тот факт, что любое излучение из одного фокуса будет сходиться в другом фокусе.
Подробнее о гиперболе
Гипербола также является коническим сечением, но с открытым концом. Термин гипербола относится к двум несвязанным кривым, показанным на рисунке. Вместо того, чтобы смыкаться подобно эллипсу, рукава или ответвления гиперболы продолжаются в бесконечность.
Точки, в которых две ветви имеют кратчайшее расстояние между ними, называются вершинами. Линия, проходящая через вершины, считается большой осью или поперечной осью и является одной из главных осей гиперболы. Два фокуса параболы также лежат на большой оси. Середина линии между двумя вершинами - это центр, а длина отрезка - большая полуось. Серединный перпендикуляр к большой полуоси является другой главной осью, и две кривые гиперболы симметричны относительно этой оси. Эксцентриситет параболы больше единицы; е > 1.
Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы имеет вид:
x2/a2 – y2/b2=1,
где a - большая полуось, а b - расстояние от центра до любого из фокусов.
Гиперболы с открытыми концами, обращенными к оси X, известны как гиперболы восток-запад. Аналогичные гиперболы можно получить и на оси y. Они известны как гиперболы оси Y. Уравнение для таких гипербол принимает вид
y2/a2 – x2/b2=1
В чем разница между Гиперболой и Эллипсом?
• И эллипсы, и гиперболы являются коническими сечениями, но эллипс представляет собой замкнутую кривую, а гипербола состоит из двух незамкнутых кривых.
• Следовательно, периметр эллипса конечен, а длина гиперболы бесконечна.
• Оба симметричны относительно своей большой и малой осей, но положение директрисы в каждом случае разное. В эллипсе он лежит вне большой полуоси, а в гиперболе он лежит на большой полуоси.
• Эксцентриситеты двух конических сечений различны.
0 <eЭллипс < 1
eГипербола > 0
• Общее уравнение двух кривых выглядит одинаково, но они разные.
• Перпендикулярная биссектриса большой оси пересекает кривую по эллипсу, но не по гиперболе.
(Источник изображения: Википедия)
