Арифметика против геометрических рядов
Математическое определение ряда тесно связано с последовательностями. Последовательность - это упорядоченный набор чисел, который может быть как конечным, так и бесконечным множеством. Последовательность чисел, в которой разница между двумя элементами является постоянной величиной, называется арифметической прогрессией. Последовательность с постоянным частным двух последовательных чисел известна как геометрическая прогрессия. Эти прогрессии могут быть как конечными, так и бесконечными, и если они конечны, количество терминов счетно, иначе несчетно.
Как правило, сумма элементов прогрессии может быть определена как серия. Сумма арифметической прогрессии называется арифметическим рядом. Точно так же сумма геометрической прогрессии известна как геометрическая прогрессия.
Подробнее об арифметических рядах
В арифметическом ряду последовательные члены имеют постоянную разность.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; где a2 =a1 + d, a3 =a2 + d и т. д.
Это различие d известно как общее различие, и термин nth задается как an =a 1+ (n-1)d; где a1 - первый член.
Поведение ряда изменяется в зависимости от общего различия d. Если общая разность положительна, прогрессия стремится к положительной бесконечности, а если общая разность отрицательна, она стремится к отрицательной бесконечности.
Сумма ряда может быть получена по следующей простой формуле, которая впервые была разработана индийским астрономом и математиком Арьябхатой.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Сумма Sn может быть как конечной, так и бесконечной, в зависимости от количества членов.
Подробнее о геометрических рядах
Геометрический ряд – это ряд, в котором частное последовательных чисел является постоянным. Это важный ряд, обнаруженный при изучении ряда, из-за свойств, которыми он обладает.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
На основании отношения r поведение ряда можно классифицировать следующим образом. r={|r|≥1 ряд расходится; r≤1 ряд сходится}. Кроме того, если r<0 ряд колеблется, т.е. ряд имеет знакопеременные значения.
Сумму геометрического ряда можно рассчитать по следующей формуле. Sn =a(1-r) / (1-r); где а - начальный член, а r - отношение. Если отношение r≤1, то ряд сходится. Для бесконечного ряда значение сходимости определяется формулой Sn=a / (1-r).
Геометрические ряды имеют множество приложений в области физических наук, техники и экономики
В чем разница между арифметическими и геометрическими рядами?
• Арифметический ряд - это ряд с постоянной разницей между двумя соседними членами.
• Геометрический ряд – это ряд с постоянным частным между двумя последовательными членами.
• Все бесконечные арифметические ряды всегда расходятся, но в зависимости от соотношения геометрические ряды могут либо сходиться, либо расходиться.
• Геометрический ряд может иметь колебания значений; то есть числа меняют знаки попеременно, но арифметический ряд не может иметь колебаний.
