Дифференциация против производной
В дифференциальном исчислении производная и дифференцирование тесно связаны, но очень разные, и используются для представления двух важных математических понятий, связанных с функциями.
Что такое производная?
Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входных данных. В многопеременных функциях изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается определенное направление и функция дифференцируется именно в этом направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные - это особый вид производных по направлению.
Производная вектор-функции f может быть определена как предел [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] везде, где он существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость возрастания функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к известному определению производной [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Например, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/латекс] везде дифференцируема, а производная равна пределу, [латекс]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], что равно равно [латекс]3x^{2}+4[/латекс]. Производные таких функций, как [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] существуют везде. Они соответственно равны функциям [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции f обозначается через f (1) Теперь, используя это обозначение, можно определить производные более высокого порядка. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] - производная по направлению второго порядка, обозначающая производную n th через f (n) для каждого n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], определяет производную n th.
Что такое дифференциация?
Дифференцирование - это процесс нахождения производной дифференцируемой функции. D-оператор, обозначаемый буквой D, представляет дифференцирование в некоторых контекстах. Если x - независимая переменная, то D ≡ d/dx. D-оператор является линейным оператором, т.е. для любых двух дифференцируемых функций f и g и константы c выполняются следующие свойства.
I. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
Используя D-оператор, другие правила, связанные с дифференцированием, можно выразить следующим образом. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 и D (f o g)=(D (f) o g) Д(г).
Например, когда F(x)=x 2sin x дифференцируется по x с использованием заданных правил, ответ будет 2 x sin x + x2cos x.
В чем разница между дифференцированием и производной?• Производная относится к скорости изменения функции • Дифференцирование - это процесс нахождения производной функции. |
