Интеграция против дифференциации
Интеграция и дифференциация - два фундаментальных понятия в исчислении, изучающем изменение. Исчисление имеет широкий спектр приложений во многих областях, таких как наука, экономика или финансы, инженерия и т. д.
Дифференциация
Дифференцирование - это алгебраическая процедура вычисления производных. Производная функции - это наклон или градиент кривой (графика) в любой заданной точке. Градиент кривой в любой заданной точке - это градиент касательной, проведенной к этой кривой в данной точке. Для нелинейных кривых градиент кривой может варьироваться в разных точках вдоль оси. Поэтому трудно рассчитать градиент или уклон в любой точке. Процесс дифференцирования полезен при вычислении градиента кривой в любой точке.
Другое определение производной: «изменение свойства по отношению к единичному изменению другого свойства».
Пусть f(x) функция независимой переменной x. Если небольшое изменение (∆x) вызывается в независимой переменной x, то соответствующее изменение ∆f(x) вызывается в функции f(x); тогда отношение ∆f(x)/∆x является мерой скорости изменения f(x) по отношению к x. Предельное значение этого отношения при стремлении ∆x к нулю lim∆x→0(f(x)/∆x) называется первой производной функции f(x), по х; другими словами, мгновенное изменение f(x) в данной точке x.
Интеграция
Интегрирование - это процесс вычисления либо определенного интеграла, либо неопределенного интеграла. Для вещественной функции f(x) и отрезка [a, b] на вещественной прямой определенный интеграл a∫b f(x) определяется как площадь между графиком функции, горизонтальной осью и двумя вертикальными линиями в конечных точках интервала. Когда конкретный интервал не указан, он известен как неопределенный интеграл. Определенный интеграл можно вычислить с помощью антипроизводных.
В чем разница между интеграцией и дифференциацией?
Разница между интегрированием и дифференцированием похожа на разницу между «возведением в квадрат» и «извлечением квадратного корня». Если мы возведем в квадрат положительное число, а затем возьмем квадратный корень из результата, значение положительного квадратного корня будет числом, которое вы возвели в квадрат. Точно так же, если вы примените интегрирование к результату, полученному дифференцированием непрерывной функции f(x), оно приведет к исходной функции и наоборот.
Например, пусть F(x) - интеграл функции f(x)=x, поэтому F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, где c - произвольная константа. При дифференцировании F(x) по x получаем F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, следовательно, производная F(x) равна f(х).
Обзор
– Дифференцирование вычисляет наклон кривой, а интегрирование вычисляет площадь под кривой.
– Интеграция – это процесс, обратный дифференцированию и наоборот.
