Производная и дифференциальная
В дифференциальном исчислении производная и дифференциал функции тесно связаны, но имеют очень разные значения и используются для представления двух важных математических объектов, связанных с дифференцируемыми функциями.
Что такое производная?
Производная функции измеряет скорость, с которой значение функции изменяется при изменении ее входных данных. В многопеременных функциях изменение значения функции зависит от направления изменения значений независимых переменных. Поэтому в таких случаях выбирается определенное направление и функция дифференцируется именно в этом направлении. Эта производная называется производной по направлению. Частные производные - это особый вид производных по направлению.
Производная вектор-функции f может быть определена как предел [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] везде, где он существует конечно. Как упоминалось ранее, это дает нам скорость возрастания функции f вдоль направления вектора u. В случае однозначной функции это сводится к известному определению производной [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Например, [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/латекс] везде дифференцируема, а производная равна пределу, [латекс]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], что равно равно [латекс]3x^{2}+4[/латекс]. Производные таких функций, как [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] существуют везде. Они соответственно равны функциям [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Это известно как первая производная. Обычно первая производная функции f обозначается через f (1) Теперь, используя это обозначение, можно определить производные более высокого порядка. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] - производная по направлению второго порядка, обозначающая производную n th через f (n) для каждого n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], определяет производную n th.
Что такое дифференциал?
Дифференциал функции представляет собой изменение функции по отношению к изменениям независимой переменной или переменных. В обычных обозначениях для заданной функции f одной переменной x полный дифференциал порядка 1 df определяется как [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Это означает, что для бесконечно малого изменения x (т. е. d x) будет f (1)(x)d x изменение f.
Используя пределы, можно прийти к этому определению следующим образом. Предположим, что ∆x - изменение x в произвольной точке x, а ∆f - соответствующее изменение функции f. Можно показать, что ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, где ϵ - ошибка. Теперь предел ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (используя ранее сформулированное определение производной) и, таким образом, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Следовательно, можно заключаем, что ∆ x→ 0 ϵ=0. Теперь, обозначая ∆x→ 0 ∆f как df и ∆x→ 0 ∆x как dx, мы получаем строгое определение дифференциала.
Например, дифференциал функции [латекс]f(x)=x^{3}+4x+5[/латекс] равен [латекс](3x^{2}+4)dx[/латекс].
В случае функций двух или более переменных полный дифференциал функции определяется как сумма дифференциалов по направлениям каждой из независимых переменных. Математически это можно выразить как [латекс]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
В чем разница между производной и дифференциалом?
• Производная относится к скорости изменения функции, тогда как дифференциал относится к фактическому изменению функции, когда независимая переменная подвергается изменению.
• Производная задается как [латекс]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], но дифференциал задается как [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
