Производная против интеграла
Дифференциация и интегрирование - две фундаментальные операции исчисления. Они имеют множество приложений в нескольких областях, таких как математика, инженерия и физика. И производная, и интеграл обсуждают поведение функции или поведение интересующего нас физического объекта.
Что такое производная?
Предположим, что y=ƒ(x) и x0 находится в домене ƒ. Тогда limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx называется мгновенной скоростью изменения ƒ при x0, если этот предел существует конечно. Этот предел также называется производной от at и обозначается ƒ(x).
Значение производной функции f в произвольной точке x области определения функции определяется как limΔx→∞ [ƒ(x+∆x) − ƒ(x)]/∆x. Это обозначается любым из следующих выражений: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Для функций с несколькими переменными мы определяем частную производную. Частная производная функции с несколькими переменными - это ее производная по одной из этих переменных при условии, что остальные переменные являются константами. Символ частной производной ∂.
Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон кривой функции ƒ(x).
Что такое интеграл?
Интеграция или антидифференциация – это обратный процесс дифференциации. Другими словами, это процесс нахождения исходной функции, когда задана производная функции. Следовательно, интеграл или антипроизводная функции ƒ(x), если ƒ(x)=F(x), может быть определена как функция F(x) для всех x в области определения ƒ(x).
Выражение ∫ƒ(x) dx обозначает производную функции ƒ(x). Если ƒ(x)=F (x), то ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, где C - константа, ∫ƒ(x) dx называется неопределенным интегралом от ƒ(x).
Для любой функции ƒ, которая не обязательно неотрицательна и определена на отрезке [a, b], a∫b ƒ(x) dx называется определенным интегралом ƒ на [a, b].
Определенный интеграл a∫bƒ(x) dx функции ƒ(x) можно геометрически интерпретировать как площадь область, ограниченная кривой ƒ(x), осью x и линиями x=a и x=b.
В чем разница между производной и интегралом?
• Производная – результат дифференцирования процесса, а интеграл – результат интеграции процесса.
• Производная функции представляет наклон кривой в любой заданной точке, а интеграл представляет площадь под кривой.
