Разница между интегралом Римана и интегралом Лебега

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-17 13:48

Интеграл Римана против интеграла Лебега

Интеграция является основной темой исчисления. В более широком смысле интеграцию можно рассматривать как обратный процесс дифференциации. При моделировании реальных задач легко писать выражения, включающие производные. В такой ситуации требуется операция интегрирования, чтобы найти функцию, которая дала конкретную производную.

С другой стороны, интегрирование - это процесс, который суммирует произведение функции ƒ(x) и δx, где δx стремится к некоторому пределу. Вот почему мы используем символ интегрирования как ∫. На самом деле символ ∫ - это то, что мы получаем, растягивая букву s для обозначения суммы.

Интеграл Римана

Рассмотрим функцию y=ƒ(x). Интеграл от y между a и b, где a и b принадлежат множеству x, записывается как _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Это называется определенным интегралом от однозначной и непрерывной функции y=ƒ(x) между a и b. Это дает площадь под кривой между a и b. Его также называют интегралом Римана. Интеграл Римана был создан Бернхардом Риманом. Интеграл Римана непрерывной функции основан на жордановой мере, поэтому он также определяется как предел сумм Римана функции. Для вещественнозначной функции, заданной на отрезке, интеграл Римана функции по разбиению x₁, x₂, …, x n_{, определенные на интервале [a, b] и t}1_{, t}2_{, …, t n}, где x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 для для каждого i ε {1, 2, …, n} сумма Римана определяется как Σ_{i=o to n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Интеграл Лебега

Лебег - это еще один тип интеграла, который охватывает более широкий спектр случаев, чем интеграл Римана. Интеграл Лебега был введен Анри Лебегом в 1902 году. Интегрирование Лебега можно рассматривать как обобщение интегрирования Римана.

Зачем нам изучать еще один интеграл?

Рассмотрим характеристическую функцию ƒ_{A (x)=}{_{0, если x не ε A}^{1 если x ε A} на множестве A. Тогда конечная линейная комбинация характеристических функций, которая определяется как F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) называется простой функцией, если E} i _{измеримо для каждого i. Интеграл Лебега от F (x) по E обозначается} E_{∫ ƒ(x)dx. Функция F (x) не является интегрируемой по Риману. Следовательно, интеграл Лебега - это перефразированный интеграл Римана, который имеет некоторые ограничения на интегрируемые функции.}

В чем разница между интегралом Римана и интегралом Лебега?

· Интеграл Лебега является обобщенной формой интеграла Римана.

· Интеграл Лебега допускает счетную бесконечность разрывов, в то время как интеграл Римана допускает конечное число разрывов.