Параллелограмм против ромба
Параллелограмм и ромб являются четырехугольниками. Геометрия этих фигур была известна человеку тысячи лет. Эта тема подробно рассматривается в книге «Элементы», написанной греческим математиком Евклидом.
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельная природа придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB=DC, AD=BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. ([латекс]D\шляпа{A}B=B\шляпа{C}D, A\шляпа{D}C=A\шляпа{B}C[/латекс])
• Если смежные углы являются дополнительными [латекс]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\шляпа{B}C=A\шляпа{B}C + D\шляпа{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Пара сторон, противостоящих друг другу, параллельна и равна по длине. (AB=DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO=OC, BO=OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее, сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда его называют законом параллелограмма, и он имеет широкое применение в физике и технике. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Каждая из перечисленных выше характеристик может быть использована в качестве свойств, если установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно вычислить произведением длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно представить как
Площадь параллелограмма=основание × высота=AB×h
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Он зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух соседних векторов.
Если стороны AB и AD представлены векторами ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) и ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) соответственно, площадь параллелограмм задается как [латекс]\левый | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], где α - угол между [латекс]\overrightarrow{AB}[/латекс] и [латекс]\overrightarrow{AD}[/латекс].
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма;
• Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой прямой, проходящей через его середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию порядка 2
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от положения точки
Ромб
Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом. Его также называют равносторонним четырехугольником. Считается, что он имеет ромбовидную форму, похожую на игральные карты.
Ромб также является частным случаем параллелограмма. Его можно рассматривать как параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. И обладает следующими особыми свойствами, помимо свойств параллелограмма.
• Диагонали ромба делят друг друга пополам под прямым углом; диагонали перпендикулярны.
• Диагонали делят два противоположных внутренних угла пополам.
• По крайней мере две из соседних сторон равны по длине.
Площадь ромба можно вычислить тем же методом, что и параллелограмм.
В чем разница между параллелограммом и ромбом?
• Параллелограмм и ромб – четырехугольники. Ромб - это частный случай параллелограммов.
• Площадь любого можно рассчитать по формуле основание ×высота.
• Учитывая диагонали;
– Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, а параллелограмм делят пополам, образуя два конгруэнтных треугольника.
– Диагонали ромба делят друг друга пополам под прямым углом, а образующиеся треугольники равносторонние.
• С учетом внутренних углов;
– Противолежащие внутренние углы параллелограмма равны по величине. Два смежных внутренних угла являются дополнительными.
– Внутренние углы ромба делятся диагоналями пополам.
• С учетом сторон;
– В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей (закон параллелограмма).
– Поскольку в ромбе все четыре стороны равны, квадрат стороны, умноженный на четыре, равен сумме квадратов диагонали.
