Параллелограмм против четырехугольника
Четырехугольники и параллелограммы - это многоугольники, встречающиеся в евклидовой геометрии. Параллелограмм является частным случаем четырехугольника. Четырехугольники могут быть либо плоскими (2D), либо трехмерными, в то время как параллелограммы всегда плоские.
Четырехугольник
Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя сторонами. У него четыре вершины, а сумма внутренних углов равна 3600 (2π рад). Четырехугольники подразделяются на категории самопересекающихся и простых четырехугольников. Самопересекающиеся четырехугольники имеют две или более сторон, пересекающих друг друга, и меньшие геометрические фигуры (например, треугольники) образуются внутри четырехугольника.
Простые четырехугольники также делятся на выпуклые и вогнутые четырехугольники. Вогнутые четырехугольники имеют смежные стороны, образующие рефлекторные углы внутри фигуры. Простые четырехугольники, не имеющие внутренних углов отражения, являются выпуклыми четырехугольниками. Выпуклые четырехугольники всегда могут иметь мозаику.
Большая часть геометрии четырехугольников на начальных уровнях касается выпуклых четырехугольников. Некоторые четырехугольники хорошо знакомы нам со времен начальной школы. Ниже приведена диаграмма, показывающая различные выпуклые четырехугольники.
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельная природа придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB=DC, AD=BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. ([латекс]D\шляпа{A}B=B\шляпа{C}D, A\шляпа{D}C=A\шляпа{B}C[/латекс])
• Если смежные углы являются дополнительными [латекс]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\шляпа{B}C=A\шляпа{B}C + D\шляпа{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Пара сторон, противостоящих друг другу, параллельна и равна по длине. (AB=DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO=OC, BO=OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее, сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда его называют законом параллелограмма, и он имеет широкое применение в физике и технике. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Каждая из перечисленных выше характеристик может быть использована в качестве свойств, если установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно вычислить произведением длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно представить как
Площадь параллелограмма=основание × высота=AB×h
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Он зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух соседних векторов.
Если стороны AB и AD представлены векторами ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) и ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) соответственно, площадь параллелограмм задается как [латекс]\левый | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], где α - угол между [латекс]\overrightarrow{AB}[/латекс] и [латекс]\overrightarrow{AD}[/латекс].
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма;
• Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой прямой, проходящей через его середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию порядка 2
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от положения точки
В чем разница между параллелограммом и четырехугольником?
• Четырехугольники - это многоугольники с четырьмя сторонами (иногда называемые четырехугольниками), а параллелограмм - это особый тип четырехугольника.
• Четырехугольники могут иметь стороны в разных плоскостях (в трехмерном пространстве), в то время как все стороны параллелограмма лежат в одной плоскости (плоскостной/ двумерной).
• Внутренние углы четырехугольника могут принимать любое значение (включая углы отражения), так что в сумме они составляют 3600. Параллелограммы могут иметь только тупые углы в качестве максимального типа угла.
• Четыре стороны четырехугольника могут быть разной длины, а противоположные стороны параллелограмма всегда параллельны друг другу и равны по длине.
• Любая диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника, в то время как треугольники, образованные диагональю общего четырехугольника, не обязательно конгруэнтны.
