Параллелограмм против прямоугольника
Параллелограмм и прямоугольник являются четырехугольниками. Геометрия этих фигур была известна человеку тысячи лет. Эта тема подробно рассматривается в книге «Элементы», написанной греческим математиком Евклидом.
Параллелограмм
Параллелограмм можно определить как геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, причем противоположные стороны параллельны друг другу. Точнее, это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эта параллельная природа придает параллелограммам множество геометрических характеристик.
Четырехугольник является параллелограммом, если найдены следующие геометрические характеристики.
• Две пары противоположных сторон равны по длине. (AB=DC, AD=BC)
• Две пары противоположных углов равны по размеру. ([латекс]D\шляпа{A}B=B\шляпа{C}D, A\шляпа{D}C=A\шляпа{B}C[/латекс])
• Если смежные углы являются дополнительными [латекс]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\шляпа{B}C=A\шляпа{B}C + D\шляпа{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Пара сторон, противостоящих друг другу, параллельна и равна по длине. (AB=DC и AB∥DC)
• Диагонали делят друг друга пополам (AO=OC, BO=OD)
• Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Далее, сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Иногда его называют законом параллелограмма, и он имеет широкое применение в физике и технике. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Каждая из перечисленных выше характеристик может быть использована в качестве свойств, если установлено, что четырехугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма можно вычислить произведением длины одной стороны и высоты противоположной стороны. Следовательно, площадь параллелограмма можно представить как
Площадь параллелограмма=основание × высота=AB×h
Площадь параллелограмма не зависит от формы отдельного параллелограмма. Он зависит только от длины основания и высоты перпендикуляра.
Если стороны параллелограмма могут быть представлены двумя векторами, площадь может быть получена по величине векторного произведения (перекрестного произведения) двух соседних векторов.
Если стороны AB и AD представлены векторами ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) и ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) соответственно, площадь параллелограмм задается как [латекс]\левый | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], где α - угол между [латекс]\overrightarrow{AB}[/латекс] и [латекс]\overrightarrow{AD}[/латекс].
Ниже приведены некоторые дополнительные свойства параллелограмма;
• Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника, образованного любой из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма делится пополам любой прямой, проходящей через его середину.
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию порядка 2
• Сумма расстояний от любой внутренней точки параллелограмма до сторон не зависит от положения точки
Прямоугольник
Четырехугольник с четырьмя прямыми углами называется прямоугольником. Это частный случай параллелограмма, в котором углы между любыми двумя соседними сторонами прямые.
Помимо всех свойств параллелограмма, при рассмотрении геометрии прямоугольника можно распознать дополнительные характеристики.
• Каждый угол при вершинах прямой.
• Диагонали равны по длине и делят друг друга пополам. Таким образом, отрезки, разделенные пополам, также равны по длине.
• Длину диагоналей можно вычислить по теореме Пифагора:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Формула площади сводится к произведению длины и ширины.
Площадь прямоугольника=длина × ширина
• Многие симметричные свойства находятся в прямоугольнике, например;
– Прямоугольник является циклическим, все вершины которого можно разместить на периметре круга.
– Равноугольная, где все углы равны.
– Изогонален, все углы лежат в пределах одной и той же орбиты симметрии.
– Обладает как отражательной, так и вращательной симметрией.
В чем разница между параллелограммом и прямоугольником?
• Параллелограмм и прямоугольник являются четырехугольниками. Прямоугольник - это частный случай параллелограмма.
• Площадь любого можно рассчитать по формуле основание ×высота.
• Учитывая диагонали;
– Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, а параллелограмм делят пополам, образуя два конгруэнтных треугольника.
– Диагонали прямоугольника равны по длине и делят друг друга пополам; отрезки пополам равны по длине. Диагонали делят прямоугольник пополам на два конгруэнтных прямоугольных треугольника.
• С учетом внутренних углов;
– Противолежащие внутренние углы параллелограмма равны по величине. Два смежных внутренних угла являются дополнительными
– Все четыре внутренних угла прямоугольника прямые.
• С учетом сторон;
– В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей (закон параллелограмма)
– В прямоугольниках сумма квадратов двух соседних сторон равна квадрату диагонали на концах. (Правило Пифагора)
