Случайные величины и распределение вероятностей
Статистические эксперименты - это случайные эксперименты, которые можно повторять бесконечно с известным набором результатов. С такими экспериментами связаны как случайные величины, так и распределения вероятностей. Для каждой случайной величины существует соответствующее распределение вероятностей, определяемое функцией, называемой кумулятивной функцией распределения.
Что такое случайная величина?
Случайная величина - это функция, которая присваивает числовые значения результатам статистического эксперимента. Другими словами, это функция, определенная из выборочного пространства статистического эксперимента в наборе действительных чисел.
Например, рассмотрим случайный эксперимент с двойным подбрасыванием монеты. Возможные исходы: HH, HT, TH и TT (H – решка, T – сказка). Пусть переменная X будет количеством голов, наблюдаемых в эксперименте. Тогда X может принимать значения 0, 1 или 2, и это случайная величина. Здесь случайная величина X будет отображать набор S={HH, HT, TH, TT} (выборочное пространство) в набор {0, 1, 2} таким образом, что HH отображается в 2, HT и TH сопоставляются с 1, а TT сопоставляется с 0. В обозначениях функций это можно записать как X: S → R, где X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 и X(ТТ)=0.
Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные, соответственно количество возможных значений, которые может принимать случайная величина, не более чем счетно или нет. В предыдущем примере случайная величина X - дискретная случайная величина, поскольку {0, 1, 2} - конечное множество. Теперь рассмотрим статистический эксперимент по нахождению весов учеников в классе. Пусть Y - случайная величина, определяемая как вес студента. Y может принимать любое действительное значение в пределах определенного интервала. Следовательно, Y - непрерывная случайная величина.
Что такое распределение вероятностей?
Распределение вероятностей - это функция, описывающая вероятность того, что случайная величина примет определенные значения.
Функция, называемая кумулятивной функцией распределения (F), может быть определена от множества действительных чисел к множеству действительных чисел как F(x)=P(X ≤ x) (вероятность того, что X меньше или равно x) для каждого возможного исхода x. Теперь кумулятивная функция распределения X в первом примере может быть записана как F(a)=0, если a<0; F(a)=0,25, если 0≤a<1; F(a)=0,75, если 1≤a<2 и F(a)=1, если a≥2.
В случае дискретных случайных величин функция может быть определена из множества возможных исходов в множество действительных чисел таким образом, что ƒ(x)=P(X=x) (вероятность X равен x) для каждого возможного исхода x. Эта конкретная функция ƒ называется функцией массы вероятности случайной величины X. Теперь функция массы вероятности X в первом конкретном примере может быть записана как ƒ (0)=0,25, ƒ (1)=0,5, ƒ (2)=0,25 и ƒ (x)=0 в противном случае. Таким образом, функция массы вероятности вместе с кумулятивной функцией распределения будет описывать распределение вероятности X в первом примере.
В случае непрерывных случайных величин функция, называемая функцией плотности вероятности (ƒ), может быть определена как ƒ(x)=dF(x)/dx для каждого x, где F – кумулятивная функция распределения непрерывная случайная величина. Легко видеть, что эта функция удовлетворяет условию ∫ƒ(x)dx=1. Функция плотности вероятности вместе с кумулятивной функцией распределения описывает распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Например, нормальное распределение (которое является непрерывным распределением вероятностей) описывается с помощью функции плотности вероятности ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
В чем разница между случайными величинами и распределением вероятностей?
• Случайная переменная - это функция, которая связывает значения выборочного пространства с действительным числом.
• Распределение вероятностей - это функция, которая связывает значения, которые может принимать случайная величина, с соответствующей вероятностью возникновения.
