Функция распределения вероятностей и функция плотности вероятности
Вероятность – это вероятность того, что событие произойдет. Эта идея очень распространена и часто используется в повседневной жизни, когда мы оцениваем наши возможности, сделки и многое другое. Распространить эту простую концепцию на более широкий набор событий немного сложнее. Например, мы не можем легко вычислить шансы на выигрыш в лотерею, но удобно, довольно интуитивно, сказать, что существует вероятность один из шести, что мы собираемся получить шестое число в кости.
Когда количество событий, которые могут произойти, становится все больше или число отдельных возможностей велико, эта довольно простая идея вероятности терпит неудачу. Следовательно, прежде чем приступать к задачам более высокой сложности, необходимо дать твердое математическое определение.
Когда количество событий, которые могут произойти в одной ситуации, велико, невозможно рассматривать каждое событие в отдельности, как в примере с брошенным кубиком. Таким образом, вся совокупность событий суммируется введением понятия случайной величины. Это переменная, которая может принимать значения различных событий в данной конкретной ситуации (или в пространстве выборки). Он придает математический смысл простым событиям в ситуации и математический подход к событию. Точнее, случайная величина - это функция действительного значения элементов выборочного пространства. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Обычно они обозначаются заглавными буквами английского алфавита.
Функция распределения вероятностей (или просто распределение вероятностей) - это функция, которая присваивает значения вероятности для каждого события; то есть он обеспечивает отношение к вероятностям значений, которые может принимать случайная величина. Функция распределения вероятностей определена для дискретных случайных величин.
Функция плотности вероятности является эквивалентом функции распределения вероятностей для непрерывных случайных величин, дает вероятность того, что определенная случайная величина примет определенное значение.
Если X является дискретной случайной величиной, функция, заданная как f (x)=P (X=x) для каждого x в диапазоне X, называется функцией распределения вероятностей. Функция может служить функцией распределения вероятностей тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Функция f (x), которая определена на множестве действительных чисел, называется функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины X тогда и только тогда, когда
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx для любых вещественных констант a и b.
Функция плотности вероятности также должна удовлетворять следующим условиям.
1. f (x) ≥ 0 для всех x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
И функция распределения вероятностей, и функция плотности вероятности используются для представления распределения вероятностей по выборочному пространству. Обычно их называют вероятностными распределениями.
Для статистического моделирования выводятся стандартные функции плотности вероятности и функции распределения вероятности. Нормальное распределение и стандартное нормальное распределение являются примерами непрерывных распределений вероятностей. Биномиальное распределение и распределение Пуассона являются примерами дискретных распределений вероятностей.
В чем разница между распределением вероятности и функцией плотности вероятности?
• Функция распределения вероятностей и функция плотности вероятности - это функции, определенные в пространстве выборки, чтобы присвоить соответствующее значение вероятности каждому элементу.
• Функции распределения вероятностей определены для дискретных случайных величин, а функции плотности вероятности определены для непрерывных случайных величин.
• Распределение значений вероятностей (т. е. распределения вероятностей) лучше всего изображается функцией плотности вероятности и функцией распределения вероятности.
• Функция распределения вероятностей может быть представлена в виде значений в таблице, но это невозможно для функции плотности вероятности, поскольку переменная непрерывна.
• При построении графика функция распределения вероятностей дает гистограмму, а функция плотности вероятности дает кривую.
• Высота/длина столбцов функции распределения вероятностей должна составлять 1, а площадь под кривой функции плотности вероятности должна составлять 1.
• В обоих случаях все значения функции должны быть неотрицательными.
