Дискретная функция и непрерывная функция
Функции являются одним из наиболее важных классов математических объектов, которые широко используются почти во всех разделах математики. Как следует из их названий, и дискретные, и непрерывные функции являются двумя особыми типами функций.
Функция - это отношение между двумя множествами, определенное таким образом, что для каждого элемента в первом множестве значение, соответствующее ему во втором множестве, уникально. Пусть f - функция, определенная из множества A в множество B. Тогда для каждого x ϵ A символ f (x) обозначает единственное значение в множестве B, соответствующее x. Это называется образом x при f. Следовательно, отношение f из A в B является функцией тогда и только тогда, когда для каждого xϵ A и y ϵ A; если x=y, то f (x)=f (y). Множество A называется областью определения функции f, и это множество, в котором функция определена.
Например, рассмотрим отношение f из R в R, определенное как f (x)=x + 2 для каждого xϵ A. Это функция, областью определения которой является R, так как для каждого действительного числа x и y из x=y следует f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Но отношение g из N в N, определяемое как g(x)=a, где 'a' - простой множитель x, не является функцией, так как g(6)=3, а также g(6)=2.
Что такое дискретная функция?
Дискретная функция - это функция, область определения которой не более чем счетна. Проще говоря, это означает, что можно составить список, включающий все элементы домена.
Любое конечное множество не более чем счетно. Множество натуральных чисел и множество рациональных чисел являются примерами не более чем счетных бесконечных множеств. Множество действительных чисел и множество иррациональных чисел не более чем счетны. Оба множества несчетны. Это означает, что невозможно составить список, включающий все элементы этих множеств.
Одной из наиболее распространенных дискретных функций является функция факториала. f:N U{0}→N, рекурсивно определяемый как f (n)=n f (n-1) для каждого n ≥ 1 и f (0)=1, называется факториальной функцией. Заметим, что его область определения N U{0} не более чем счетна.
Что такое непрерывная функция?
Пусть f будет такой функцией, что для каждого k в области определения f f (x)→ f (k) при x → k. Тогда f - непрерывная функция. Это означает, что можно сделать f (x) сколь угодно близким к f (k), сделав x достаточно близким к k для каждого k в области определения f.
Рассмотрите функцию f (x)=x + 2 на R. Можно видеть, что при x → k, x + 2 → k + 2, то есть f (x) → f (k). Следовательно, f - непрерывная функция. Теперь рассмотрим g на положительных действительных числах g (x)=1, если x > 0, и g (x)=0, если x=0. Тогда эта функция не является непрерывной, так как предел g (x) не существует (и, следовательно, не равен g (0)) при x → 0.
В чем разница между дискретной и непрерывной функцией?
• Дискретная функция - это функция, область определения которой не более чем счетна, но это может не иметь места в непрерывных функциях.
• Все непрерывные функции ƒ обладают тем свойством, что ƒ(x)→ƒ(k) при x → k для каждого x и для каждого k в области определения ƒ, но это не так для некоторых дискретных функций.
