Кардинал против порядкового номера
В нашей повседневной жизни использование чисел может принимать разные формы в разных ситуациях. Например, когда мы считаем, чтобы определить размер набора объектов, мы считаем их как один, два, три и так далее. Когда мы хотим что-то посчитать, чтобы понять положение объектов, мы считаем их первыми, вторыми, третьими и так далее. В первой форме счета числа называются количественными числами. Во второй форме счета числа считаются порядковыми. В этом контексте понятия кардинального и порядкового числа полностью относятся к лингвистике; кардинальный и порядковый являются прилагательными.
Однако расширение концепции множеств в математике раскрывает гораздо более глубокую и широкую перспективу и не может рассматриваться простыми словами. В этой статье мы постараемся понять основные понятия количественных и порядковых чисел в математике.
Формальные определения количественных и порядковых числительных даются в теории множеств. Определения сложны, и чтобы понять их в полном смысле, нужны базовые знания в теории множеств. Поэтому обратимся к парочке примеров, чтобы эвристически разобраться в понятиях.
Рассмотрите два набора {1, 3, 6, 4, 5, 2} и {автобус, автомобиль, паром, поезд, самолет, вертолет}. Каждый набор содержит набор элементов, и если мы подсчитаем количество элементов, становится очевидным, что каждый из них имеет одинаковое количество элементов, равное 6. Придя к такому выводу, мы взяли размер одного набора и сравнили его с другим, используя количество. Такое число называется количественным числом. Следовательно, мы можем сказать, что кардинальное число - это число, которое мы можем использовать для сравнения размеров конечных множеств.
Опять же, первый набор чисел можно расположить в порядке возрастания, учитывая размер каждого элемента и сравнивая их. В процессе заказа числа считаются количественными. Точно так же набор всех неотрицательных целых чисел можно упорядочить в наборе; то есть {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Но в этом случае размер множества становится бесконечным, и представить его в виде ординалов невозможно. Независимо от того, насколько велико число, которое вы выберете для определения размера набора, все равно будут числа, не входящие в выбранный вами набор и являющиеся неотрицательными целыми числами.
Поэтому математики определяют этот бесконечный кардинал (который является первым) как Алеф-0, записываемый как א (первая буква еврейского алфавита). Формально порядковый номер - это тип порядка хорошо упорядоченного множества. Следовательно, порядковый номер конечных множеств может быть задан количественными числами, но для бесконечных множеств порядковый номер задается трансфинитными числами, такими как Алеф-0.
В чем разница между количественными и порядковыми числительными?
• Кардинальное число - это число, которое можно использовать для подсчета или определения размера конечного упорядоченного множества. Все количественные числительные являются порядковыми.
• Порядковые числа - это числа, используемые для определения размера как конечных, так и бесконечных упорядоченных множеств. Размер конечных упорядоченных множеств задается обычными индийско-арабскими алгебраическими цифрами, а размер бесконечного множества задается трансфинитными числами.
