Разностное уравнение и дифференциальное уравнение
Природное явление может быть описано математически функциями ряда независимых переменных и параметров. Особенно когда они выражаются функцией пространственного положения и времени, это приводит к уравнениям. Функция может измениться при изменении независимых переменных или параметров. Бесконечно малое изменение, происходящее в функции при изменении одной из ее переменных, называется производной этой функции.
Дифференциальное уравнение – это любое уравнение, которое содержит производные функции, а также саму функцию. Простое дифференциальное уравнение - это уравнение второго закона Ньютона. Если объект массы m движется с ускорением «a» и на него действует сила F, то второй закон Ньютона говорит нам, что F=ma. Здесь снова «а» меняется со временем, мы можем переписать «а» как; а=дв/дт; v - скорость. Скорость есть функция пространства и времени, то есть v=ds/dt; поэтому ‘a’=d2s/dt2
Помня об этом, мы можем переписать второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения;
‘F’ как функция v и t – F(v, t)=mdv/dt, или
'F' как функция s и t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Есть два типа дифференциальных уравнений; обыкновенное дифференциальное уравнение, сокращенно ODE, или уравнение в частных производных, сокращенно PDE. Обыкновенное дифференциальное уравнение будет иметь обыкновенные производные (производные только одной переменной). Уравнение в частных производных будет иметь дифференциальные производные (производные более чем одной переменной).
напр. F=m d2s/dt2 является ОДУ, тогда как α2 d 2u/dx2=du/dt является УЧП, имеет производные от t и x.
Разностное уравнение такое же, как и дифференциальное уравнение, но мы рассматриваем его в другом контексте. В дифференциальных уравнениях независимая переменная, такая как время, рассматривается в контексте системы с непрерывным временем. В системе с дискретным временем мы называем функцию разностным уравнением.
Разностное уравнение есть функция разностей. Различия в независимых переменных бывают трех типов; последовательность чисел, дискретная динамическая система и повторяющаяся функция.
В последовательности чисел изменение генерируется рекурсивно с использованием правила, связывающего каждое число в последовательности с предыдущими числами в последовательности.
Разностное уравнение в дискретной динамической системе принимает некоторый дискретный входной сигнал и создает выходной сигнал.
Разностное уравнение - это повторная карта для повторяемой функции. Например, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….является последовательностью повторяемой функции. f(y0) является первой итерацией y0 k-я итерация будет обозначаться как fk (y0).
