Сопряженная и обратная матрица
И сопряженная матрица, и обратная матрица получаются из линейных операций над матрицей, и это две разные матрицы с разными свойствами.
Подробнее о (классической) сопряженной или сопряженной матрице
Сопряженная матрица или сопряженная матрица является транспонированной матрицей кофакторов. Если матрица кофакторов A равна C, то сопряженная матрица A задается как C T. т. е. adj(A)=C T.
Кофакторная матрица имеет вид C=(-1)i+j M ij, где M ij - минор элемента ijth. Определитель матрицы, полученной удалением строки ith и столбца jth, называется минором матрицы ijth.элемент. [Чтобы вычислить сопряженную матрицу, сначала найдите миноры каждого элемента, затем сформируйте матрицу кофакторов, наконец, выполняя транспонирование, которое дает сопряженную матрицу].
Сопряженное можно использовать для вычисления обратной матрицы и для нахождения производной определителя по формуле Якоби. Термин «сопряженный» довольно устарел и теперь используется для комплексно-сопряженных матриц. Следовательно, правильным термином является сопряженная матрица или вспомогательная матрица.
Подробнее об обратной матрице
Инверсия матрицы определяется как матрица, которая при умножении дает единичную матрицу. Следовательно, по определению, если AB=BA=I, то B - обратная матрица A, а A - обратная матрица B. Итак, если мы рассмотрим B=A -1, то AA -1 =A -1 A=Я
Для того чтобы матрица была обратимой, необходимым и достаточным условием является то, что определитель матрицы A не равен нулю.то есть | А |=det(A) ≠ 0. Матрица называется обратимой, невырожденной или невырожденной, если она удовлетворяет этому условию. Отсюда следует, что A - квадратная матрица, и A -1 и A имеют одинаковый размер.
Обратную матрицу A можно вычислить многими методами линейной алгебры, такими как исключение Гаусса, собственное разложение, разложение Холецкого и правило Кармера. Матрицу также можно инвертировать методом блочной инверсии и рядом Неймана.
Правило Крамера обеспечивает аналитический метод нахождения обратной матрицы, и условие невырожденности также может быть объяснено результатами. По правилу Крамера A -1 =adj(A)/det(A) или adj(A)=A -1 det(A). Чтобы этот результат был верным, det(A) ≠ 0, следовательно, матрицы обратимы тогда и только тогда, когда выполняется указанное выше условие.
В чем разница между сопряженными и обратными матрицами?
• Сопряженная или сопряженная матрица - это транспонированная матрица кофакторов, тогда как обратная матрица - это матрица, которая при умножении дает единичную матрицу.
• Сопряженная матрица может использоваться для вычисления обратной матрицы и является одним из распространенных методов нахождения обратной матрицы вручную.
• Для каждой матрицы существует сопряженная матрица, но обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель отличен от нуля.
