Транспонирование и обратная матрица
Транспонирование и инверсия - это два типа матриц со специальными свойствами, с которыми мы сталкиваемся в матричной алгебре. Они отличаются друг от друга и не имеют близких отношений, поскольку операции, выполняемые для их получения, различны.
Они имеют широкое применение в области линейной алгебры и производных реализаций, таких как информатика.
Подробнее о транспонированной матрице
Транспонирование матрицы A можно определить как матрицу, полученную путем перестановки столбцов в строки или строк в столбцы. В результате индексы каждого элемента меняются местами. Более формально транспонирование матрицы A определяется как
где
В транспонированной матрице диагональ остается неизменной, но все остальные элементы поворачиваются вокруг диагонали. Кроме того, размер матриц также изменяется от m×n до n×m.
Транспонирование имеет несколько важных свойств, которые упрощают работу с матрицами. Кроме того, некоторые важные матрицы транспонирования определяются на основе их характеристик. Если матрица равна своей транспонированной, то матрица симметрична. Если матрица равна своему отрицательному результату транспонирования, матрица является кососимметричной. Сопряженное транспонирование матрицы - это транспонирование матрицы с элементами, замененными ее комплексно-сопряженным.
Подробнее об обратной матрице
Инверсия матрицы определяется как матрица, которая при умножении дает единичную матрицу. Следовательно, по определению, если AB=BA=I, то B - обратная матрица A, а A - обратная матрица B. Итак, если мы рассмотрим B=A -1, то AA -1 =A -1 A=Я
Для того чтобы матрица была обратимой, необходимым и достаточным условием является то, что определитель матрицы A не равен нулю; то есть | А |=det(A) ≠ 0. Матрица называется обратимой, невырожденной или невырожденной, если она удовлетворяет этому условию. Отсюда следует, что A - квадратная матрица, и A -1 и A имеют одинаковый размер.
Обратную матрицу A можно вычислить многими методами линейной алгебры, такими как исключение Гаусса, собственное разложение, разложение Холецкого и правило Кармера. Матрица также может быть инвертирована методом блочной инверсии и рядом Неймана.
В чем разница между транспонированием и обратной матрицей?
• Транспонирование получается путем перестановки столбцов и строк в матрице, в то время как обратное получается с помощью относительно сложных численных вычислений. (Но на самом деле оба являются линейными преобразованиями)
• В результате элементы транспонирования меняют только свое положение, но значения остаются теми же. Но в обратном случае числа могут полностью отличаться от исходной матрицы.
• Каждая матрица может иметь транспонирование, но инверсия определена только для квадратных матриц, а определитель должен быть ненулевым определителем.
