Ряд Фурье против преобразования Фурье
Ряд Фурье разлагает периодическую функцию на сумму синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами. Ряд Фурье - это ветвь анализа Фурье, введенная Жозефом Фурье. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая разбивает сигнал на составляющие его частоты. Исходный сигнал, который изменился во времени, называется представлением сигнала во временной области. Преобразование Фурье называется представлением сигнала в частотной области, поскольку оно зависит от частоты. Как представление сигнала в частотной области, так и процесс, используемый для преобразования этого сигнала в частотную область, называются преобразованием Фурье.
Что такое ряд Фурье?
Как упоминалось ранее, ряд Фурье представляет собой разложение периодической функции с использованием бесконечной суммы синусов и косинусов. Первоначально ряды Фурье были разработаны при решении уравнений теплопроводности, но позже выяснилось, что тот же метод можно использовать для решения большого набора математических задач, особенно задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Теперь ряды Фурье применяются во многих областях, включая электротехнику, анализ вибрации, акустику, оптику, обработку сигналов, обработку изображений, квантовую механику и эконометрику. В рядах Фурье используются отношения ортогональности функций синуса и косинуса. Вычисление и изучение рядов Фурье известно как гармонический анализ и очень полезно при работе с произвольными периодическими функциями, поскольку позволяет разбить функцию на простые члены, которые можно использовать для получения решения исходной задачи.
Что такое преобразование Фурье?
Преобразование Фурье определяет связь между сигналом во временной области и его представлением в частотной области. Преобразование Фурье разлагает функцию на колебательные функции. Поскольку это преобразование, исходный сигнал можно получить, зная преобразование, поэтому в процессе не создается и не теряется информация. Изучение рядов Фурье фактически дает основания для преобразования Фурье. Благодаря свойствам синусов и косинусов можно восстановить вклад каждой волны в сумму с помощью интеграла. Преобразование Фурье имеет некоторые основные свойства, такие как линейность, трансляция, модуляция, масштабирование, сопряжение, двойственность и свертка. Преобразование Фурье применяется при решении дифференциальных уравнений, поскольку преобразование Фурье тесно связано с преобразованием Лапласа. Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и в других видах спектроскопии.
Разница между рядом Фурье и преобразованием Фурье
Ряд Фурье представляет собой разложение периодического сигнала как линейную комбинацию синусов и косинусов, в то время как преобразование Фурье представляет собой процесс или функцию, используемую для преобразования сигналов из временной области в частотную область. Ряд Фурье определен для периодических сигналов, а преобразование Фурье может быть применено к апериодическим (возникающим без периодичности) сигналам. Как упоминалось выше, изучение рядов Фурье на самом деле мотивирует преобразование Фурье.
