Зависимые и независимые события
В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся с событиями с неопределенностью. Например, шанс выиграть в лотерею, которую вы покупаете, или шанс получить работу, на которую вы подали заявку. Фундаментальная теория вероятности используется для математического определения вероятности того, что что-то произойдет. Вероятность всегда связана со случайными экспериментами. Эксперимент с несколькими возможными исходами называется случайным экспериментом, если исход любого отдельного испытания нельзя предсказать заранее. Зависимые и независимые события - термины, используемые в теории вероятностей.
Событие B называется независимым от события A, если вероятность того, что B произойдет, не зависит от того, произошло A или нет. Проще говоря, два события независимы, если исход одного из них не влияет на вероятность возникновения другого события. Другими словами, B не зависит от A, если P(B)=P(B|A). Точно так же A не зависит от B, если P(A)=P(A|B). Здесь P(A|B) обозначает условную вероятность A при условии, что B произошло. Если мы рассмотрим бросок двух игральных костей, число, выпавшее на одном кубике, не повлияет на то, что выпадет на другом кубике.
Для любых двух событий A и B в выборочном пространстве S; условная вероятность A при условии, что B произошло, равна P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Таким образом, если событие A не зависит от события B, то из P(A)=P(A|B) следует, что P(A∩B)=P(A) x P(B). Аналогично, если P(B)=P(B|A), то выполняется P(A ∩ B)=P(A) x P(B). Следовательно, мы можем заключить, что два события A и B независимы тогда и только тогда, когда выполняется условие P(A ∩ B)=P(A) x P(B).
Предположим, что мы одновременно бросаем кубик и подбрасываем монету. Тогда множество всех возможных исходов или выборочное пространство равно S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H)., (1, Т), (2, Т), (3, Т), (4, Т), (5, Т), (6, Т) }. Пусть событие A - это событие выпадения орла, тогда вероятность события A, P(A) равна 6/12 или 1/2, а событие B - выпадение на кости числа, кратного трем. Тогда P(B)=4/12=1/3. Любое из этих двух событий не влияет на возникновение другого события. Следовательно, эти два события независимы. Поскольку множество (A ∩ B)={(3, H), (6, H)}, вероятность того, что событие выпадет орлом и кратно трем, то есть P(A ∩ B), равна 2/12 или 1/6. Умножение P (A) x P (B) также равно 1/6. Поскольку два события A и B удовлетворяют условию, мы можем сказать, что A и B являются независимыми событиями.
Если на исход одного события влияет исход другого события, то говорят, что событие зависимо.
Предположим, что у нас есть мешок с 3 красными, 2 белыми и 2 зелеными шарами. Вероятность случайного извлечения белого шара равна 2/7. Какова вероятность того, что вытащите зеленый шар? Это 2/7?
Если мы вытащили второй шар после замены первого шара, эта вероятность будет 2/7. Однако, если мы не вернем на место первый вынутый шар, то в мешке останется только шесть шаров, поэтому вероятность вытащить зеленый шар теперь равна 2/6 или 1/3. Следовательно, второе событие является зависимым, так как первое событие влияет на второе событие.
В чем разница между зависимым событием и независимым событием?
