Взаимоисключающие и независимые события
Люди часто путают понятия взаимоисключающих событий с независимыми событиями. На самом деле это две разные вещи.
Пусть A и B будут любыми двумя событиями, связанными со случайным экспериментом E. P(A) называется «вероятностью A». Точно так же мы можем определить вероятность B как P(B), вероятность A или B как P(A∪B), а вероятность A и B как P(A∩B). Тогда P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Однако два события называются взаимоисключающими, если появление одного события не влияет на другое. Другими словами, они не могут происходить одновременно. Следовательно, если два события A и B являются взаимоисключающими, то A∩B=∅ и, следовательно, отсюда следует P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Пусть A и B будут двумя событиями в выборочном пространстве S. Условная вероятность A при условии, что B произошло, обозначается P(A | B) и определяется как; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), если P(B)>0. (иначе не определено.)
Событие A называется независимым от события B, если вероятность того, что A произойдет, не зависит от того, произошло B или нет. Другими словами, исход события B не влияет на исход события A. Следовательно, P(A | B)=P(A). Точно так же B не зависит от A, если P(B)=P(B | A). Отсюда можно заключить, что если A и B - независимые события, то P(A∩B)=P(A). P(B)
Предположим, что пронумерованный кубик брошен и подброшена правильная монета. Пусть A будет событием выпадения орла, а B событием выпадения четного числа. Тогда мы можем заключить, что события А и В независимы, поскольку исход одного из них не влияет на исход другого. Следовательно, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Поскольку P(A∩B)≠0, A и B не могут исключать друг друга.
Предположим, что в урне лежит 7 белых и 8 черных шариков. Определим событие A как рисование белого шарика, а событие B - как рисование черного шарика. Если предположить, что каждый шарик будет возвращен на место после записи его цвета, то P(A) и P(B) всегда будут одинаковыми, независимо от того, сколько раз мы достаем из урны. Замена шариков означает, что вероятности не меняются от розыгрыша к розыгрышу, независимо от того, какой цвет мы выбрали при последнем розыгрыше. Следовательно, события A и B независимы.
Однако, если шарики вытягивались без замены, то все меняется. В этом предположении события А и В не являются независимыми. Выпадение белого шарика в первый раз изменяет вероятность выпадения черного шарика во второй раз и так далее. Другими словами, каждый розыгрыш влияет на следующий розыгрыш, поэтому отдельные розыгрыши не являются независимыми.
Разница между взаимоисключающими и независимыми событиями
– Взаимная исключительность событий означает, что между множествами A и B нет пересечения. Независимость событий означает, что событие A не влияет на событие B.
– Если два события A и B взаимно исключают друг друга, то P(A∩B)=0.
– Если два события A и B независимы, то P(A∩B)=P(A). P(B)
