Линейное уравнение против квадратного уравнения
В математике алгебраическими уравнениями называются уравнения, составленные из многочленов. В явном виде уравнения будут иметь вид P(x)=0, где x - вектор из n неизвестных переменных, а P - многочлен. Например, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 - явно записанное алгебраическое уравнение двух переменных. Кроме того, (x+y)3=3x2y – 3zy4 является алгебраическим уравнением, но в неявной форме. Оно примет вид Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, один раз написано явно.
Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наибольшая степень членов, встречающихся в уравнении. Если терм состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет принята за степень терма. Заметим, что согласно этому определению P(x, y)=0 имеет степень 4, а Q(x, y, z)=0 имеет степень 5.
Линейные уравнения и квадратные уравнения - это два разных типа алгебраических уравнений. Степень уравнения - это фактор, отличающий их от остальных алгебраических уравнений.
Что такое линейное уравнение?
Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5=0 - это линейное уравнение с одной переменной. x + y + 5z=0 и 4x=3w + 5y + 7z - линейные уравнения с 3 и 4 переменными соответственно. В общем случае линейное уравнение n переменных будет иметь вид m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =б. Здесь xi - неизвестные переменные, mi и b - действительные числа, где каждое из mi не равно нулю.
Такое уравнение представляет собой гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет плоскость в трехмерном евклидовом пространстве.
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение – это алгебраическое уравнение второй степени. x2 + 3x + 2=0 - квадратное уравнение с одной переменной. x2 + y2 + 3x=4 и 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 являются примерами квадратных уравнений с 2 и 3 переменными соответственно.
В случае с одной переменной общая форма квадратного уравнения имеет вид ax2 + bx + c=0. Где a, b, c - действительные числа, из которых «а» не равно нулю. Дискриминант ∆=(b2 – 4ac) определяет характер корней квадратного уравнения. Корни уравнения будут действительно разными, действительно подобными и сложными в зависимости от того, является ли ∆ положительным, нулевым или отрицательным. Корни уравнения легко находятся по формуле x=(- b ± √∆)/2a.
В случае с двумя переменными общая форма будет иметь вид ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, и это представляет собой конику (параболу, гиперболу или эллипс) в декартовой плоскости. В более высоких измерениях этот тип уравнений представляет собой гиперповерхности, известные как квадрики.
В чем разница между линейными и квадратными уравнениями?
• Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 1, тогда как квадратное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 2.
• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n переменными представляет собой гиперплоскость, а квадратное уравнение с n переменными – поверхность квадрата.
