Разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-17 13:49

Линейное уравнение против нелинейного уравнения

В математике алгебраическими уравнениями называются уравнения, составленные из многочленов. В явном виде уравнения будут иметь вид P(x)=0, где x - вектор из n неизвестных переменных, а P - многочлен. Например, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 - алгебраическое уравнение с двумя переменными, записанное явно. Кроме того, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ является алгебраическим уравнением, но в неявной форме и примет вид Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, один раз написано явно.}

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наибольшая степень членов, встречающихся в уравнении. Если терм состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет принята за степень терма. Заметим, что согласно этому определению P(x, y)=0 имеет степень 5, а Q(x, y, z)=0 имеет степень 5.

Линейные уравнения и нелинейные уравнения представляют собой два раздела, определенные на множестве алгебраических уравнений. Степень уравнения - это фактор, который отличает их друг от друга.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5=0 - это линейное уравнение с одной переменной. x + y + 5z=0 и 4x=3w + 5y + 7z - линейные уравнения с 3 и 4 переменными соответственно. В общем случае линейное уравнение n переменных будет иметь вид m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=б. Здесь x}i _{- неизвестные переменные, m}i _{и b - действительные числа, где каждое из m}i _{не равно нулю.}

Такое уравнение представляет собой гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет плоскость в трехмерном евклидовом пространстве.

Что такое нелинейное уравнение?

Квадратное уравнение - это алгебраическое уравнение, которое не является линейным. Другими словами, нелинейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 2 или выше. x² + 3x + 2=0 - нелинейное уравнение с одной переменной. x² + y³+ 3xy=4 и 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 являются примерами нелинейных уравнений с 3 и 4 переменными соответственно.}

Нелинейное уравнение второй степени называется квадратным уравнением. Если степень равна 3, то оно называется кубическим уравнением. Уравнения степени 4 и степени 5 называются уравнениями четвертой и пятой степени соответственно. Доказано, что не существует аналитического метода для решения любого нелинейного уравнения степени 5, и это верно и для любой более высокой степени. Решаемые нелинейные уравнения представляют собой гиперповерхности, которые не являются гиперплоскостями.

В чем разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением?

• Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 1, а нелинейное уравнение - это алгебраическое уравнение степени 2 или выше.

• Несмотря на то, что любое линейное уравнение разрешимо аналитически, это не относится к нелинейным уравнениям.

• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n переменными представляет собой гиперплоскость, а пространство решений нелинейного уравнения с n переменными - гиперповерхность, которая не является гиперплоскостью. (Квадрики, кубические поверхности и др.)