Биномиальное и нормальное распределение
Распределения вероятностей случайных величин играют важную роль в области статистики. Из этих распределений вероятностей биномиальное распределение и нормальное распределение являются двумя наиболее часто встречающимися в реальной жизни.
Что такое биномиальное распределение?
Биномиальное распределение - это распределение вероятностей, соответствующее случайной величине X, которая представляет собой число успехов конечной последовательности независимых экспериментов «да/нет», каждый из которых имеет вероятность успеха p. Из определения X видно, что это дискретная случайная величина; следовательно, биномиальное распределение тоже дискретно.
Распределение обозначается как X ~ B (n, p), где n - количество экспериментов, а p - вероятность успеха. Согласно теории вероятностей, мы можем сделать вывод, что B (n, p) соответствует функции массы вероятности [латекс] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p) ^ {(n-k)}, k=0, 1, 2, … n [/латекс]. Из этого уравнения можно далее вывести, что ожидаемое значение X, E(X)=np и дисперсия X, V(X)=np (1-p).
Например, рассмотрим случайный эксперимент по подбрасыванию монеты 3 раза. Определим успех как получение H, неудачу как получение T, а случайную величину X как количество успехов в эксперименте. Тогда X ~ B (3, 0,5) и функция массы вероятности X определяется как [латекс] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/латекс]. Таким образом, вероятность получения как минимум 2 H равна P(X ≥ 2)=P (X=2 или X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Что такое нормальное распределение?
Нормальное распределение - это непрерывное распределение вероятностей, определяемое функцией плотности вероятности, [латекс] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Параметры [latex] \mu и \\sigma [/latex] обозначают среднее значение и стандартное отклонение интересующей совокупности. Когда [latex] \mu=0 и \\sigma=1 [/latex], распределение называется стандартным нормальным распределением.
Это распределение называется нормальным, поскольку большинство природных явлений следуют нормальному распределению. Например, IQ человеческого населения имеет нормальное распределение. Как видно из графика, он унимодальный, симметричный относительно среднего и колоколообразный. Среднее значение, мода и медиана совпадают. Площадь под кривой соответствует доле населения, удовлетворяющей заданному условию.
Доли популяции в интервале [латекс] (\мю – \\сигма, \\мю + \\сигма) [/латекс], [латекс] (\мю – 2 \\сигма, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] составляют примерно 68,2%, 95,6% и 99,8% соответственно.
В чем разница между биномиальным и нормальным распределениями?
- Биномиальное распределение - это дискретное распределение вероятностей, тогда как нормальное распределение - непрерывное.
- Функция массы вероятности биномиального распределения имеет вид [латекс]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], тогда как функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Биномиальное распределение приближается к нормальному распределению при определенных условиях, но не наоборот.
