Разница между транспонированием и сопряженным транспонированием

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-17 13:48

Транспонирование и сопряженное транспонирование

Транспонирование матрицы A можно определить как матрицу, полученную путем перестановки столбцов как строк или строк как столбцов. В результате индексы каждого элемента меняются местами. Более формально транспонирование матрицы A определяется как

где

В транспонированной матрице диагональ остается неизменной. Но все остальные элементы вращаются по диагонали. Кроме того, размер матриц также изменяется от m×n до n×m.

Транспонирование имеет несколько важных свойств, которые упрощают работу с матрицами. Кроме того, некоторые важные матрицы транспонирования определяются на основе их характеристик. Если матрица равна своей транспонированной, то матрица симметрична. Если матрица равна своему отрицательному результату транспонирования, то матрица является кососимметричной.

Сопряженное транспонирование матрицы - это транспонирование матрицы с заменой элементов комплексно-сопряженным. То есть комплексно-сопряженная (A^{) определяется как транспонирование комплексно-сопряженной матрицы A.}

A=(Ā)^{T; Подробно,}

где

и ā_{ji ε C.}

Он также известен как эрмитова транспонирование и эрмитово сопряжение. Если сопряженное транспонирование равно самой матрице, матрица известна как эрмитова матрица. Если сопряженное транспонирование равно отрицательному значению матрицы, это косая эрмитова матрица. А если обратная матрица равна комплексно-сопряженной, то матрица унитарна.

Аналогичным образом, все специальные комплексно-сопряженные матрицы также обладают особыми свойствами, которые можно использовать для легкого математического манипулирования ими. Сопряженное транспонирование широко используется в квантовой механике и связанных с ней областях.

В чем разница между транспонированием и сопряженным транспонированием?

• Транспонирование матрицы получается путем перестановки столбцов в строки или строк в столбцы. Комплексно-сопряженная матрица получается путем замены каждого элемента его комплексно-сопряженной (т. е. x + iy ⇛ x-iy или наоборот). Сопряженное транспонирование получается путем выполнения обеих операций над матрицей.

• Следовательно, сопряженное транспонирование - это просто транспонированная матрица с ее комплексно-сопряженными элементами в качестве элементов.