Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
Уравнение, содержащее хотя бы один дифференциальный коэффициент или производную от неизвестной переменной, называется дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение может быть как линейным, так и нелинейным. Цель этой статьи - объяснить, что такое линейное дифференциальное уравнение, что такое нелинейное дифференциальное уравнение и в чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.
С момента разработки исчисления в 18 веке такими математиками, как Ньютон и Лейбниц, дифференциальные уравнения играли важную роль в истории математики. Дифференциальные уравнения имеют большое значение в математике из-за их диапазона приложений. Дифференциальные уравнения лежат в основе каждой модели, которую мы разрабатываем для объяснения любого сценария или события в мире, будь то в физике, технике, химии, статистике, финансовом анализе или биологии (список бесконечен). На самом деле, пока исчисление не стало устоявшейся теорией, не было надлежащих математических инструментов для анализа интересных проблем природы.
Уравнения, полученные в результате конкретного применения исчисления, могут быть очень сложными и иногда неразрешимыми. Однако есть такие, которые мы можем решить, но они могут выглядеть одинаково и сбивать с толку. Поэтому для облегчения идентификации дифференциальные уравнения классифицируются по их математическому поведению. Линейный и нелинейный - одна из таких категорий. Важно определить разницу между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.
Что такое линейное дифференциальное уравнение?
Предположим, что f: X→Y и f(x)=y, дифференциальное уравнение без нелинейных членов неизвестной функции y и ее производных известно как линейное дифференциальное уравнение.
Это налагает условие, что y не может иметь члены с более высоким индексом, такие как y2, y3, … и кратные производные, такие как как
Он также не может содержать нелинейные термины, такие как Sin y, e y ^-2 или ln y. Он принимает форму
где y и g являются функциями x. Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение порядка n, которое является индексом производной старшего порядка.
В линейном дифференциальном уравнении дифференциальный оператор является линейным оператором, а решения образуют векторное пространство. В результате линейного характера набора решений линейная комбинация решений также является решением дифференциального уравнения. То есть, если y1 и y2 являются решениями дифференциального уравнения, то C1 y 1+ C2 y2 также является решением.
Линейность уравнения является лишь одним параметром классификации, и его можно далее разделить на однородные или неоднородные, обыкновенные или дифференциальные уравнения в частных производных. Если функция g=0, то уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением. Если f является функцией двух или более независимых переменных (f: X, T→Y) и f(x, t)=y, то уравнение является линейным дифференциальным уравнением в частных производных.
Метод решения дифференциального уравнения зависит от типа и коэффициентов дифференциального уравнения. Самый простой случай возникает, когда коэффициенты постоянны. Классический пример для этого случая - второй закон движения Ньютона и его различные приложения. Второй закон Ньютона дает линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Что такое нелинейное дифференциальное уравнение?
Уравнения, содержащие нелинейные члены, известны как нелинейные дифференциальные уравнения.
Все вышеперечисленное является нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейные дифференциальные уравнения трудно решить, поэтому для получения правильного решения требуется тщательное изучение. В случае дифференциальных уравнений в частных производных большинство уравнений не имеют общего решения. Следовательно, каждое уравнение следует рассматривать независимо.
Уравнение Навье-Стокса и уравнение Эйлера в гидродинамике, уравнения общей теории относительности Эйнштейна - хорошо известные нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Иногда применение уравнения Лагранжа к системе переменных может привести к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
В чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями?
• Дифференциальное уравнение, которое имеет только линейные члены неизвестной или зависимой переменной и ее производных, известно как линейное дифференциальное уравнение. Он не имеет члена с индексом зависимой переменной выше 1 и не содержит никаких кратных своих производных. Он не может иметь нелинейные функции, такие как тригонометрические функции, экспоненциальные функции и логарифмические функции по отношению к зависимой переменной. Любое дифференциальное уравнение, содержащее упомянутые члены, является нелинейным дифференциальным уравнением.
• Решения линейных дифференциальных уравнений создают векторное пространство, и дифференциальный оператор также является линейным оператором в векторном пространстве.
• Решения линейных дифференциальных уравнений относительно проще, и существуют общие решения. Для нелинейных уравнений в большинстве случаев общего решения не существует, и решение может быть специфичным для конкретной задачи. Это делает решение намного сложнее, чем линейные уравнения.
