Логарифмический против экспоненциального | Экспоненциальная функция против логарифмической функции
Функции являются одним из наиболее важных классов математических объектов, которые широко используются почти во всех разделах математики. Как следует из их названий, экспоненциальная функция и логарифмическая функция являются двумя специальными функциями.
Функция - это отношение между двумя множествами, определенное таким образом, что для каждого элемента в первом множестве значение, соответствующее ему во втором множестве, уникально. Пусть ƒ функция, определенная из множества A в множество B. Тогда для каждого x ϵ A символ ƒ(x) обозначает единственное значение в множестве B, которое соответствует x. Он называется образом x при ƒ. Следовательно, отношение ƒ из A в B является функцией тогда и только тогда, когда для каждого x ϵ A и y ϵ A, если x=y, то ƒ(x)=ƒ(y). Множество A называется областью определения функции ƒ, и это множество, в котором функция определена.
Что такое экспоненциальная функция?
Экспоненциальная функция – это функция, заданная выражением ƒ(x)=ex, где e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) и является трансцендентным иррациональным числом. Одной из особенностей функции является то, что производная функции равна самой себе; то есть когда y=ex, dy/dx=ex Кроме того, функция является всюду непрерывной возрастающей функцией, имеющей ось x в качестве асимптоты. Поэтому функция тоже один к одному. Для каждого x ϵ R имеем ex> 0, и можно показать, что оно находится на R + Кроме того, следует основное тождество ex+y=exey и e0 =1. Функцию также можно представить с помощью разложения в ряд: 1 + x/1! + х2/2! + х3/3! + … + х/n! + …
Что такое логарифмическая функция?
Логарифмическая функция обратна экспоненциальной функции. Поскольку экспоненциальная функция является взаимно однозначной и на R +, функция g может быть определена из набора положительных действительных чисел в набор действительных чисел, заданный g(y)=x тогда и только тогда, когда y=ex Эта функция g называется логарифмической функцией или чаще всего натуральным логарифмом. Обозначается g(x)=log ex=ln x. Поскольку это обратная экспоненциальная функция, если мы возьмем отражение графика экспоненциальной функции над линией y=x, то мы получим график логарифмической функции. Таким образом, функция асимптотична относительно оси y.
Логарифмическая функция следует некоторым основным правилам, из которых наиболее важными являются ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y и ln xy=y ln x. Это тоже возрастающая функция, и она всюду непрерывна. Поэтому тоже один в один. Можно показать, что он лежит на R.
В чем разница между показательной функцией и логарифмической функцией?
• Экспоненциальная функция задается формулой ƒ(x)=ex, тогда как логарифмическая функция задается формулой g(x)=ln x, а первая является обратной последний.
• Область определения экспоненциальной функции - это множество действительных чисел, а область определения логарифмической функции - множество положительных действительных чисел.
• Диапазон экспоненциальной функции - это набор положительных действительных чисел, а диапазон логарифмической функции - это набор действительных чисел.
