Ортогональный и ортонормальный
В математике два слова ортогональный и ортонормированный часто используются вместе с набором векторов. Здесь термин «вектор» используется в том смысле, что он является элементом векторного пространства - алгебраической структуры, используемой в линейной алгебре. Для нашего обсуждения мы рассмотрим пространство внутреннего произведения - векторное пространство V вместе со скалярным произведением , определенным на V.
Например, для скалярного произведения пространство представляет собой набор всех трехмерных векторов положения вместе с обычным скалярным произведением.
Что такое ортогональный?
Непустое подмножество S пространства скалярного произведения V называется ортогональным тогда и только тогда, когда для каждого отдельного u, v в S [u, v]=0; т. е. внутренний продукт u и v равен нулевому скаляру в пространстве скалярного произведения.
Например, в наборе всех трехмерных векторов положения это эквивалентно утверждению, что для каждой отдельной пары векторов положения p и q в S, p и q перпендикулярны друг другу. (Помните, что скалярное произведение в этом векторном пространстве является скалярным произведением. Кроме того, скалярное произведение двух векторов равно 0 тогда и только тогда, когда два вектора перпендикулярны друг другу.)
Рассмотрите множество S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, которое является подмножеством трехмерных векторов положения. Заметим, что (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Следовательно, множество S ортогонально. В частности, два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Следовательно, каждая пара векторов в Si ортогональна.
Что такое ортонормированный?
Непустое подмножество S пространства скалярного произведения V называется ортонормированным тогда и только тогда, когда S ортогонален и для каждого вектора u в S [u, u]=1. Следовательно, можно видеть, что каждое ортонормированное множество ортогонально, но не наоборот.
Например, в наборе всех трехмерных векторов положения это эквивалентно утверждению, что для каждой отдельной пары векторов положения p и q в S, p и q перпендикулярны друг другу, и для каждый p в S, |p|=1. Это связано с тем, что условие [p, p]=1 сводится к p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, что эквивалентно |p |=1. Следовательно, для данного ортогонального набора мы всегда можем сформировать соответствующий ортонормированный набор, разделив каждый вектор на его величину.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} является ортонормированным подмножеством множества всех трехмерных векторов положения. Легко видеть, что он был получен путем деления каждого из векторов множества S на их величины.
В чем разница между ортогональным и ортонормированным?
- Непустое подмножество S пространства скалярного произведения V называется ортогональным тогда и только тогда, когда для каждого отдельного u, v в S [u, v]=0. Однако оно ортонормировано, если и только если выполнено дополнительное условие – для каждого вектора u в S [u, u]=1.
- Любой ортонормированный набор ортогонален, но не наоборот.
- Любой ортогональный набор соответствует уникальному ортонормированному набору, но ортонормированный набор может соответствовать множеству ортогональных наборов.
