Лаплас против преобразований Фурье
И преобразование Лапласа, и преобразование Фурье являются интегральными преобразованиями, которые чаще всего используются в качестве математических методов для решения математически моделируемых физических систем. Процесс прост. Сложная математическая модель преобразуется в более простую, разрешимую модель с помощью интегрального преобразования. После решения более простой модели применяется обратное интегральное преобразование, которое дает решение исходной модели.
Например, поскольку большинство физических систем приводят к дифференциальным уравнениям, их можно преобразовать в алгебраические уравнения или в легко решаемые дифференциальные уравнения более низкой степени, используя интегральное преобразование. Тогда решение проблемы станет проще.
Что такое преобразование Лапласа?
Для функции f (t) вещественной переменной t ее преобразование Лапласа определяется интегралом [латекс] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (всякий раз, когда он существует), который является функцией комплексной переменной s. Обычно его обозначают L { f (t)}. Обратным преобразованием Лапласа функции F (s) считается функция f (t) таким образом, что L { f (t)}=F (s), и в обычных математических обозначениях мы пишем L-1{ F (s)}=f (t). Обратное преобразование можно сделать уникальным, если нулевые функции не разрешены. Эти два оператора можно идентифицировать как линейные операторы, определенные в функциональном пространстве, и также легко видеть, что L -1{ L { f (t)}}=f (t), если нулевые функции не разрешены.
В следующей таблице перечислены преобразования Лапласа некоторых наиболее распространенных функций.
Что такое преобразование Фурье?
Для функции f (t) вещественной переменной t ее преобразование Лапласа определяется интегралом [латекс] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (где бы он ни существовал) и обычно обозначается F { f (т)}. Обратное преобразование F -1{ F (α)} задается интегралом [латекс] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Преобразование Фурье также является линейным, и его можно рассматривать как оператор, определенный в функциональном пространстве.
Используя преобразование Фурье, исходную функцию можно записать следующим образом при условии, что функция имеет только конечное число разрывов и является абсолютно интегрируемой.
В чем разница между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье?
- Преобразование Фурье функции f (t) определяется как [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], тогда как преобразование Лапласа определяется как [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Преобразование Фурье определено только для функций, определенных для всех действительных чисел, тогда как преобразование Лапласа не требует определения функции на множестве отрицательных действительных чисел.
- Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа. Можно видеть, что оба совпадают для неотрицательных действительных чисел. (т. е. возьмем s в Лапласе как iα + β, где α и β вещественны, так что e β=1/ √(2ᴫ))
- Каждая функция, имеющая преобразование Фурье, будет иметь преобразование Лапласа, но не наоборот.
