Ассоциативный vs Коммутативный
В нашей повседневной жизни нам приходится использовать числа всякий раз, когда нам нужно что-то измерить. В продуктовом магазине, на заправке и даже на кухне нам нужно складывать, вычитать и умножать две или более величин. Исходя из нашей практики, мы выполняем эти расчеты довольно легко. Мы никогда не замечаем и не задаемся вопросом, почему мы выполняем эти операции именно таким образом. Или почему эти расчеты нельзя сделать по-другому. Ответ скрыт в том, как эти операции определяются в математической области алгебры.
В алгебре операция с двумя величинами (например, сложение) определяется как бинарная операция. Точнее, это операция между двумя элементами из набора, и эти элементы называются операндами. Многие операции в математике, включая арифметические операции, упомянутые ранее, а также операции, встречающиеся в теории множеств, линейной алгебре и математической логике, могут быть определены как бинарные операции.
Существует набор управляющих правил, относящихся к конкретной бинарной операции. Ассоциативность и коммутативность - два фундаментальных свойства бинарных операций.
Подробнее о коммутативном свойстве
Предположим, что над элементами A и B выполняется некоторая бинарная операция, обозначаемая символом ⊗. Если порядок операндов не влияет на результат операции, то говорят, что операция коммутативна. т. е. если A ⊗ B=B ⊗ A, то операция коммутативна.
Арифметические операции сложения и умножения коммутативны. Порядок сложения или перемножения чисел не влияет на окончательный ответ:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Но в случае деления изменение порядка дает обратное значение другого, а при вычитании изменение дает отрицательное значение другого. Следовательно, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 и 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 и 5 ÷ 4=1,25 [в данном случае A, B ≠ 1 и 0]
На самом деле вычитание считается антикоммутативным; где А – В=– (В – А).
Кроме того, коммутативны также логические связки, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Функции истинности также коммутативны. Объединение и пересечение множеств коммутативны. Сложение и скалярное произведение векторов также коммутативны.
Но векторное вычитание и векторное произведение не коммутативны (векторное произведение двух векторов антикоммутативно). Сложение матриц коммутативно, но умножение и вычитание некоммутативны.(Умножение двух матриц может быть коммутативным в особых случаях, таких как умножение матрицы на ее обратную или единичную матрицу; но определенно матрицы не коммутативны, если матрицы не одного размера)
Подробнее об ассоциативном свойстве
Бинарная операция называется ассоциативной, если порядок выполнения не влияет на результат при наличии двух или более вхождений оператора. Рассмотрим элементы A, B и C и бинарную операцию ⊗. Операция ⊗ называется ассоциативной, если
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Из основных арифметических функций ассоциативными являются только сложение и умножение.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
Вычитание и деление не являются ассоциативными;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 и (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 и (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Логические связки дизъюнкция, конъюнкция и эквивалентность ассоциативны, как и операции над множествами объединение и пересечение. Сложение матрицы и вектора ассоциативно. Скалярное произведение векторов ассоциативно, а векторное произведение - нет. Умножение матриц ассоциативно только при особых обстоятельствах.
В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством?
• Как ассоциативность, так и коммутативность являются особыми свойствами бинарных операций, и некоторые из них удовлетворяют им, а некоторые нет.
• Эти свойства можно увидеть во многих формах алгебраических операций и других бинарных операциях в математике, таких как пересечение и объединение в теории множеств или логические связки.
• Разница между коммутативностью и ассоциативностью заключается в том, что коммутативность утверждает, что порядок элементов не меняет окончательный результат, в то время как ассоциативность утверждает, что порядок выполнения операции не влияет на окончательный ответ..
