Бернулли против бинома
Очень часто в реальной жизни мы сталкиваемся с событиями, которые имеют значение только для двух исходов. Например, либо мы проходим собеседование при приеме на работу, с которым столкнулись, либо проваливаем это собеседование, либо наш рейс отправляется вовремя, либо он задерживается. Во всех этих ситуациях мы можем применить понятие вероятности «испытания Бернулли».
Бернулли
Случайный эксперимент только с двумя возможными исходами с вероятностью p и q; где p+q=1, называется испытаниями Бернулли в честь Джеймса Бернулли (1654-1705). Чаще всего о двух исходах эксперимента говорят как об «успехе» или «неуспехе».
Например, если мы рассматриваем подбрасывание монеты, есть два возможных исхода, которые называются «орел» или «решка». Если мы заинтересованы в том, чтобы голова упала; вероятность успеха равна 1/2, что можно обозначить как P (успех)=1/2, а вероятность неудачи равна 1/2. Точно так же, когда мы бросаем два кубика, если нас интересует только сумма двух кубиков, равная 8, P (успех)=5/36 и P (неудача)=1-5/36=31/36.
Процесс Бернулли - это независимое возникновение последовательности испытаний Бернулли; следовательно, вероятность успеха остается неизменной для каждого испытания. Кроме того, для каждого испытания вероятность неудачи равна 1-P(успех).
Поскольку отдельные следы независимы, вероятность события в процессе Бернулли можно рассчитать, взяв произведение вероятностей успеха и неудачи. Например, если вероятность успеха [P(S)] обозначается как p, а вероятность неудачи [P(F)] обозначается как q; тогда P(SSSF)=p3q и P(FFSS)=p2q2
Биномиальный
Испытания Бернулли приводят к биномиальному распределению. В большинстве случаев люди путаются с двумя терминами «бернуллиевский» и «биномиальный». Биномиальное распределение представляет собой сумму независимых и равномерно распределенных испытаний Бернулли. Биномиальное распределение обозначается обозначением b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)pkqn-k, где C(n, k) известен как биномиальный коэффициент. Биномиальный коэффициент C(n, k) можно рассчитать по формуле n!/k!(n-k)!.
Например, если мгновенная лотерея с 25% выигрышных билетов продается среди 10 человек, вероятность покупки выигрышного билета равна b(1;10, 0,25)=C(10, 1)(0,25)(0,75)9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169
В чем разница между Бернулли и биномом?
- Испытание Бернулли - это случайный эксперимент с двумя возможными исходами.
- Биномиальный эксперимент – это последовательность испытаний Бернулли, выполненных независимо друг от друга.
