Интеграция и суммирование
В математике старшей школы интегрирование и суммирование часто встречаются в математических операциях. Кажется, что они используются как разные инструменты и в разных ситуациях, но между ними очень тесная связь.
Подробнее о суммировании
Суммирование - это операция сложения последовательности чисел, и эта операция часто обозначается греческой буквой заглавной сигмы Σ. Он используется для сокращения суммирования и равен сумме/сумме последовательности. Они часто используются для представления серий, которые, по сути, представляют собой суммированные бесконечные последовательности. Их также можно использовать для обозначения суммы векторов, матриц или многочленов.
Суммирование обычно выполняется для диапазона значений, которые могут быть представлены общим термином, например для ряда, который имеет общий термин. Начальная точка и конечная точка суммирования известны как нижняя граница и верхняя граница суммирования соответственно.
Например, сумма последовательности a1, a2, a3, a 4, …, an равно a1 + a2 + a 3 + … + an, которые можно легко представить, используя нотацию суммирования, как ∑ i=1 ai; i называется индексом суммирования.
Для суммирования используется множество вариаций в зависимости от приложения. В некоторых случаях верхняя и нижняя границы могут быть заданы как интервал или диапазон, например ∑1≤i≤100 ai и ∑i∈[1, 100] ai Или это может быть задано как набор чисел, например ∑i∈P ai, где P - определенное множество.
В некоторых случаях можно использовать два или более знака сигмы, но их можно обобщить следующим образом; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Кроме того, суммирование следует многим алгебраическим правилам. Поскольку встроенной операцией является сложение, многие общие правила алгебры могут быть применены к самим суммам и к отдельным терминам, отображаемым при суммировании.
Подробнее об интеграции
Интеграция определяется как процесс, обратный дифференцированию. Но с геометрической точки зрения его можно рассматривать и как площадь, ограниченную кривой функции и осью. Следовательно, вычисление площади дает значение определенного интеграла, как показано на диаграмме.
Источник изображения:
Значение определенного интеграла на самом деле является суммой маленьких полосок внутри кривой и оси. Площадь каждой полосы равна высоте × ширине в точке на рассматриваемой оси. Ширина - это значение, которое мы можем выбрать, скажем, ∆x. А высота - это примерно значение функции в рассматриваемой точке, скажем, f (xi). Из диаграммы видно, что чем меньше полоски, тем лучше полоски помещаются внутри ограниченной области, следовательно, лучше аппроксимируется значение.
Итак, в общем случае определенный интеграл I между точками a и b (т.е. в интервале [a, b], где a<b) может быть задан как I ≅ f (x1)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, где n - количество полосок (n=(b-a)/∆x). Это суммирование площади может быть легко представлено с использованием обозначения суммирования как I ≅ ∑i=1 f (xi)∆x. Поскольку аппроксимация лучше, когда ∆x меньше, мы можем вычислить значение, когда ∆x→0. Поэтому разумно сказать, что I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
В качестве обобщения вышеприведенной концепции мы можем выбрать ∆x на основе рассматриваемого интервала, индексированного i (выбор ширины области на основе положения). Тогда мы получаем
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Это известно как интеграл Реймана функции f (x) в интервале [a, b]. В этом случае a и b известны как верхняя граница и нижняя граница интеграла. Интеграл Реймана является основной формой всех методов интегрирования.
По сути, интегрирование - это суммирование площадей, когда ширина прямоугольника бесконечно мала.
В чем разница между интеграцией и суммированием?
• Суммирование – это сложение последовательности чисел. Обычно суммирование дается в таком виде ∑i=1 ai, когда члены последовательности имеют шаблон и могут быть выражены с помощью общего термина.
• Интегрирование - это в основном область, ограниченная кривой функции, осью и верхним и нижним пределами. Эта площадь может быть представлена как сумма гораздо меньших площадей, включенных в ограниченную область.
• При суммировании используются дискретные значения с верхней и нижней границами, тогда как при интегрировании используются непрерывные значения.
• Интегрирование можно интерпретировать как особую форму суммирования.
• В численных методах расчета интегрирование всегда выполняется как суммирование.
