Разница между арифметической последовательностью и геометрической последовательностью

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-17 23:45

Арифметическая последовательность против геометрической последовательности

Изучение моделей чисел и их поведения является важным исследованием в области математики. Часто эти закономерности можно увидеть в природе, и это помогает нам объяснить их поведение с научной точки зрения. Арифметические последовательности и геометрические последовательности - это два основных шаблона, которые встречаются в числах и часто встречаются в природных явлениях.

Последовательность - это набор упорядоченных чисел. Количество элементов в последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.

Подробнее об арифметической последовательности (арифметической прогрессии)

Арифметическая последовательность определяется как последовательность чисел с постоянной разницей между каждым последующим членом. Это также известно как арифметическая прогрессия.

Арифметическая последовательность ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; где a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d и т. д.}

Если начальный член равен a₁, а общая разность равна d, то n^{th последовательности определяется выражением;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Расширяя приведенный выше результат, член n^{th может быть также задан как;}

a_n =a_m + (n-m)d, где a_{m - случайный термин в такой последовательности, что n > m.}

Набор четных чисел и набор нечетных чисел являются простейшими примерами арифметических последовательностей, где каждая последовательность имеет общую разность (d), равную 2.

Количество терминов в последовательности может быть как бесконечным, так и конечным. В бесконечном случае (n → ∞) последовательность стремится к бесконечности в зависимости от общей разности (a_{n → ±∞). Если общая разность положительна (d > 0), то последовательность стремится к положительной бесконечности, а если общая разность отрицательна (d < 0), то она стремится к отрицательной бесконечности. Если члены конечны, последовательность также конечна.}

Сумма членов арифметической последовательности называется арифметическим рядом: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{и S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] дает значение серия (S}n)

Подробнее о геометрической последовательности (геометрической прогрессии)

Геометрическая последовательность определяется как последовательность, в которой частное любых двух последовательных членов является константой. Это также известно как геометрическая прогрессия.

Геометрическая последовательность ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; где a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r и так далее, где r - действительное число.}

Геометрическую последовательность проще представить, используя знаменатель (r) и начальный член (a). Отсюда геометрическая последовательность ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Общая форма терминов n^th, заданная a_n =a₁r ^n-1. (Потеря нижнего индекса начального термина ⇒ a_n =ar^n-1)

Геометрическая последовательность также может быть конечной или бесконечной. Если число членов конечно, последовательность называется конечной. А если члены бесконечны, последовательность может быть либо бесконечной, либо конечной в зависимости от отношения r. Общее отношение влияет на многие свойства геометрических последовательностей.

r > o	0 < r < +1	Последовательность сходится – экспоненциальное затухание, т.е. a_{n → 0, n → ∞}
	r=1	Постоянная последовательность, т.е. a_{n=константа}
	r > 1	Последовательность расходится – экспоненциальный рост, т.е. a_{n → ∞, n → ∞}
r < 0	-1 < r < 0	Последовательность колеблется, но сходится
	r=1	Последовательность переменная и постоянная, т.е. a_n=±constant
	r < -1	Последовательность чередуется и расходится. т. е. a_{n → ±∞, n → ∞}
r=0	Последовательность представляет собой строку нулей

N. B: Во всех приведенных выше случаях a₁ > 0; если a₁ < 0, знаки, относящиеся к a_{n, будут инвертированы.}

Интервал времени между отскоками мяча соответствует геометрической последовательности в идеальной модели, и это сходящаяся последовательность.

Сумма членов геометрической последовательности называется геометрической последовательностью; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Сумма геометрического ряда может быть рассчитана по следующей формуле.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); где a - начальный член, r - отношение.}

Если отношение r ≤ 1, ряд сходится. Для бесконечного ряда значение сходимости определяется выражением S_n=a/(1-r)

В чем разница между арифметической и геометрической последовательностью/прогрессией?

• В арифметической прогрессии любые два последовательных члена имеют общую разность (d), а в геометрической прогрессии любые два последовательных члена имеют постоянное частное (r).

• В арифметической прогрессии изменение членов является линейным, т.е. можно провести прямую линию, проходящую через все точки. В геометрическом ряду изменение экспоненциальное; либо растет, либо распадается в зависимости от общего соотношения.

• Все бесконечные арифметические ряды расходятся, тогда как бесконечные геометрические ряды могут быть расходящимися или сходящимися.

• Геометрический ряд может показывать колебания, если отношение r отрицательно, в то время как арифметический ряд не отображает колебания