Определенные и неопределенные интегралы
Исчисление - важный раздел математики, и дифференцирование играет решающую роль в исчислении. Обратный процесс дифференцирования известен как интегрирование, а обратный процесс известен как интеграл, или, проще говоря, обратный дифференцированию дает интеграл. По полученным ими результатам интегралы делятся на два класса; определенные и неопределенные интегралы.
Подробнее о неопределенных интегралах
Неопределенный интеграл является скорее общей формой интегрирования, и его можно интерпретировать как первообразную рассматриваемой функции. Предположим, что дифференцирование F дает f, а интегрирование f дает интеграл. Его часто записывают как F (x)=∫ƒ (x) dx или F=∫ƒ dx, где и F, и ƒ являются функциями x, а F дифференцируемо. В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана, а результирующая функция сопровождает произвольную константу. Неопределенный интеграл часто дает семейство функций; следовательно, интеграл неопределен.
Интегралы и процесс интегрирования лежат в основе решения дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от дифференциации, интеграция не всегда следует четкой и стандартной процедуре; иногда решение не может быть выражено явно через элементарную функцию. В этом случае аналитическое решение часто дается в виде неопределенного интеграла.
Подробнее об определенных интегралах
Определенные интегралы - это очень ценные аналоги неопределенных интегралов, где процесс интегрирования фактически дает конечное число. Его можно графически определить как площадь, ограниченную кривой функции ƒ на заданном интервале. Всякий раз, когда интегрирование выполняется в пределах заданного интервала независимой переменной, интегрирование дает определенное значение, которое часто записывается как a∫bƒ(x) dx или a∫b ƒdx.
Неопределенные интегралы и определенные интегралы связаны между собой первой основной теоремой исчисления, что позволяет вычислять определенный интеграл, используя неопределенные интегралы. Теорема утверждает, что F дифференцируема в интервале (a, b). Учитывая интервал, a и b известны как нижний предел и верхний предел соответственно.
Вместо того, чтобы останавливаться только на реальных функциях, интегрирование может быть распространено на комплексные функции, и эти интегралы называются контурными интегралами, где ƒ - функция комплексной переменной.
В чем разница между определенными и неопределенными интегралами?
Неопределенные интегралы представляют собой антипроизводную функции, а часто и семейство функций, а не определенное решение. В определенных интегралах интегрирование дает конечное число.
Неопределенные интегралы связывают произвольную переменную (отсюда семейство функций), а определенные интегралы имеют не произвольную константу, а верхний предел и нижний предел интегрирования.
Неопределенный интеграл обычно дает общее решение дифференциального уравнения.
